Potenzgesetze.mb

Wahrscheinlichkeitsmasse/-dichte

Wahrscheinlichkeitsmasse-Funktion für diskretes Potenzgesetz ( $\alpha>1$ ):

\begin{align} p_d(x) &= \frac{x^{-\alpha}}{\zeta(\alpha,x_{\min})}\\ \zeta(\alpha, x_{\min}) &= \sum_{n=0}^{\infty}(n+x_{\min})^{-\alpha} \end{align}

Die Funktion $\zeta$ heißt Hurwitzsche Zeta-Funktion. In R ist eine Approximation implementiert (Funktion "zeta" im Paket "VGAM")

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion für stetiges Potenzgesetz:

p_s(x) = \frac{\alpha - 1}{(x_{\min})^{1-\alpha}} x^{-\alpha}

Die Verteilungsfunktion für den stetigen Fall ist dann

P_s(X\leq x) = 1-(\frac{x}{x_{\min}})^{1-\alpha}

Die dazu inverse Funktion $h$ is

h(p) = x_{\min}(1-p)^{\frac{1}{1-\alpha}}

Diese Funktion kann zur Erzeugung von potenzgesetz-verteilten stetigen Zufallsvariablen mithilfe der Inversionsmethode genutzt werden.

Man kann die diskrete Verteilung durch Rundung der stetigen Verteilung approximieren und dann die Verwerfungsmethode anwenden. Sei

\begin{align} f(x) &= \frac{1}{\zeta(\alpha, x_{\min})} x^{-\alpha}\\ g(x) &= \int_x^{x+1} \frac{\alpha - 1}{(x_{\min})^{1-\alpha}} y^{-\alpha} dy\\ &= -\frac{1}{(x_{\min})^{1-\alpha}}[y^{1-\alpha}]_x^{x+1}\\ &= \frac{x^{1-\alpha} -(x+1)^{1-\alpha}}{(x_{\min})^{1-\alpha}}\\ \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{(x_{\min})^{1-\alpha}}{\zeta(\alpha, x_{\min})} \frac{x^{-\alpha}}{x^{1-\alpha} - (x+1)^{1-\alpha}}\\ \end{align}

Der zweite Faktor konvergiert von oben gegen 1, so dass das Maximum erreicht wird bei

c = \frac{f(x_{\min})}{g(x_{\min})}.